Waring's problem for polynomial summands

Abstract

웨링 문제는 골드바흐 추측과 더불어 덧셈 형식에 대한 이론의 척도가 되는 문제이다. 하디-리틀우드 방법의 적용은 이 문제를 $\mathbb{Z}_p$ 위에서의 문제로 바꾸었고, 20세기의 결과들은 차수가 $k$인 다항식의 점근적 위수가 $k^{1+\epsilon}$ 에서 $2^k$ 사이인 것을 밝혀내었다. 위수의 분포가 이같이 넓은 것은, 다항식의 계수들이 법 $p^m$에서 갖는 제약이나 특성에 따른 것이다. 코시의 다각형수 정리에 착안한 한 가지 추측은, 다면체 위에서 정의된 특정한 다항식들에서는 그 조합적인 제약에 의해 점근적 위수가 그리 크지 않을 것이라는 것이었다. 이 논문에서는 원 방법에 따라 준식을 법 $n$ 위의 문제로 떨어뜨리는 과정을 자세히 다루고, 이후 정다면체에 정의된 다항식은 위수가 작음을 보이며, 또 위수가 가장 커지는 특정 다면체를 건설하여 위 추측이 일반적으로는 사실이 아님을 보였다. 이를 위해 일반적인 다항식에 관한 헨젤 리프팅을 자세히 다루었으며, 대부분의 차수 $k$인 다항식에서 점근적 위수가 $k^2$ 이하가 됨을 추가로 증명하였다.

In this research I answer a question proposed by Hyunkwang Kim a decade ago, namely the Waring problem for a family of polynomials attached to convex polytopes. Generalizing Cauchy's polygonal number theorem to higher dimensions, Kim suggested that certain polynomials of degree $k$ associated with $k$-dimensional polytopes would form additive bases with small asymptotic orders, say $G(f) \ll k^M$ for some fixed $M$. For the starters, I show that the $k$-cross polytope numbers $\mathcal{B}^k(x)$ indeed satisfy $G(\mathcal{B}^k) \ll k \log k$, which completes the story for regular polytope numbers. Then I consider the whole family of polytopes and disprove Kim's conjecture, giving a constructive proof that certain $k$-polytopes have $G(\mathcal{P}) = 2^k$. Finally, to measure how rare the occasion $G(f) \ll k^M$ is for a random polynomial $f(x)$, I also show, from a statistical point of view, that almost all integer-valued polynomials satisfy $G(f) \ll (\deg f)^2$.