매끈한 사영 완전교차다양체의 주기행렬 변형과 그 응용

Abstract

본 논문의 목적은 매끄러운 완전교차곡면 다양체 주기행렬의 변형 이론을 마우러-카르탕 형식 관점에서 개발하는 데에 있다. 완전교차곡면에 동반된 DGBV 대수를 대수적으로 정의하고, 이를 통해 완전교차곡면의 원시 특이코호몰로지를 계산한다. 또한, 완전교차곡면의 변형의 주기행렬을 본래의 주기행렬을 통해 계산하는 구체적 알고리즘을 제시한다. 산술적인 응용으로, 특별히 타원곡선인 경우, 타원곡선의 주기행렬에 대한 변형 이론을 이용하여 모듈러 j-불변량의 역원값을 계산하는 구체적 알고리즘을 제시한다.

The goal of this Ph.D. thesis is to develop a deformation theory of period matrices of a smooth projective complete intersection variety in the modern view point of the Maurer-Cartan formalism and give a simple arithmetic application to the inverse value of the modular j-function.

More concretely, let X be a smooth complete intersection of dimension n-k in the projective space \mathbb{P}^n and let H=H^{n-k}_{prim}(X, \mathbb{C}) be the primitive (n-k)-th singular cohomology of X. We give a purely algebraic construction of a differential Gerstenhaber-Batalin-Vilkovisky algebra (in short, DGBV algebra) BV_X which computes H. Moreover, we enhance the period integral C_{[\gamma]} of X (for a fixed homology cycle \gamma) to a cochain map from BV_X to (\mathbb{C}, 0) and provide an explicit algorithm to compute the period matrices of deformations of X from the period matrix of X. This generalizes the results for smooth projective hypersurfaces in [11] to smooth projective complete intersections.

As an arithmetic application, we give a concrete algorithm to compute an inverse value of the modular j-invariant by using a deformation theory for period matrices of elliptic curves (smooth projective hypersurfaces in \mathbb{P}^2 of degree 3).