확률편미분방정식의 거시적 구조에 대한 연구

Abstract

노이즈 혹은 랜덤 포텐셜에 의한 확률편미분방정식(SPDE)은 자연의 랜덤한 환 경에서 많은 물리적 현상을 설명하는 유용한 모델로서 광범위하게 연구되어 왔다. 중요한 예로서, parabolic Anderson model(PAM)을 포함한 확률열방정식(SHE)은 분지과정, 박테리아 성장 모델, 방향성 중합체 및 자기장과 같은 다양한 모델과 관련 되어 있다. 비선형 확률열방정식의 중요한 변형으로는 랜덤 성장 표면을 나타내는 Kadar-Parasi-Zhang (KPZ) 방정식이 있다. 우리의 주요 프로젝트는 확률편미분방 정식 해의 질적 행동을 거시적인 규모에서 연구하는 것이다. 우리는 먼저 큰 수의 법칙과 중심극한정리를 포함하여 시공간 백색 노이즈가 있 는 확률열방정식의 시간 의존적 공간 평균에 대한 극한정리를 연구한다. Zd 위에 서의 확률열방정식의 극한정리들에 대한 결과들은 잘 알려져 있지만, R 위에서의 결과들은 거의 없다. 우리는 R 위에서의 확률열방정식의 시간 의존적 공간평균에 대한 큰 수의 약법칙과 강법칙, 중심극한 정리를 중명하고 그 극한정리들을 보장하 는 정확한 박스의 크기를 구한다. 우리는 또한 Malliavin calculus와 Stein’s method 를 이용하여 정량적 중심극한정리를 증명한다. 두 번째 파트에서, 우리는 시간적으로는 백색이고 공간적으로는 상관된 노이즈에 의한 선형 확률편미분방정식들을 고려한다. 우리는 노이즈에 대한 적절히 약한 가 정들 하에서 확률편미분방정식의 높은 peak들이 Khoshnevisan, Kim, and Xiao [62] 에서의 의미로서 거시적으로 다프랙탈, 즉 그 peak들이 무한히 많은 길이 규모에서 무한히 많은 다른 거시하우스도르프 차원(Barlow-Taylor [4, 5]) 값들을 가진다는 것을 보인다. 보조 결과로서, 우리는 무한에서 영이 되는 상관관계를 가진 가우스 확률장의 다프랙탈을 보인다. 또한, 우리는 확률편미분방정식의 큰 peak들의 시공 간적 다프랙탈을 증명한다. 비록 확률편미분방정식의 큰 peak들의 프랙탈 현상에 대해 최근 중정적으로 연 구가 되어왔지만, 큰 peak들 사이의 valley 또는 gap에 대한 프랙탈 연구는 거의 없었다. 마지막 파트에서, 우리는 PAM에 거시하우스도르프 차원의 급격한 상전이 와 함께 높은 peak들 사이에 매우 큰 valley들이 있다는 것을 보이는데, 이 결과는 이전의 결과들을 보완하고 intermittency와 함께 국소화 현상의 전체 형상을 암시한 다. 증명을 위한 하나의 주요 도구는 KPZ 방정식의 낮은 꼬리확률로, 이는 KPZ line ensemble과 같은 KPZ 방정식과 관련된 최신 도구들에 의해 증명된다.

Stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by noise or random po- tential have been extensively studied as useful models that describe many physical phenomena under the random environment in nature. As an important example, the stochastic heat equations (SHEs) including the parabolic Anderson model (PAM) are related to various models such as branching process, bacteria growth model, directed polymer, and magnetic fields. One important variation of nonlinear SHEs is the Kadar- Parisi-Zhang (KPZ) equation which illustrates the random growth interface. Our main project is to study the qualitative behavior of the solution to SPDEs in macroscopic scales. We first study the limit theorems for time-dependent spatial averages of SHEs with space-time white noise, including the law of large numbers and the central limit theorems. The limit theorems of SHEs on Zd are well-known, but there are only few such results for SHEs on R. We show the weak and strong law of large numbers, and the central limit theorem for the time-dependent spatial averages of the SHE on R, and provide the exact box sizes that guarantee the limit theorems. We also present the quatitative central limit theorem using the Malliavin calculus and Stein’s method. In the second part, we consider the linear SPDEs with white in time and spatially correlated noise. We show that under the suitably weak assumptions on the noise, the tall peaks of SPDEs are macroscopically multifractal in the sense of Khoshnevisan, Kim, and Xiao [62], which means that they have infinitely many different values of the macroscopic Hausdorff dimension (introduced by Barlow-Taylor [4, 5]) at infinitely many length scales. As an auxiliary result, we show the multifractality of Gaussian random fields with correlation that vanishes at infinity. Furthermore, we also obtain the spatio-temporal multifractality of tall peaks of SPDEs. Although the fractality of tall peaks of SPDEs have been studied intensively in recent years, there has been no result for the fractality of valleys, or gaps between tall peaks. At the final part, we show that there are very large valleys between high peaks in the PAM with a drastic phase transition of the macroscopic Hausdorff dimension, which complements the previous results and hints a full picture of localization phenomena at the onset of intermittency. One main input for the proof is the lower tail probability of the KPZ equation, which is proven by modern tools related to the KPZ equation, such as the KPZ line ensemble.