An immersed interface method for acoustic and elastic wave equations with discontinuous coefficients

Abstract

A new numerical method to solve three-dimensional acoustic and elastic wave equations in media with arbitrarily-shaped interfaces on a Cartesian grid is proposed. The present method aims to achieve two objectives to simulate wave propagation through realistic geometries: (1) handling wave interaction at the interface with high ratios of material properties and (2) treating complex geometries involving both smooth and non-smooth interfaces. These problems are frequently encountered in practical applications.

The present method extends the solution in each adjacent domain smoothly across the interface in the direction normal to the interface. A cell layer of ghost points on each side of the interface is used to enforce interface conditions, which support not only reflection but also transmission of incident waves. The smooth extension include the interface conditions to make the effect of the interface on the solutions in each adjacent domain.

To achieve the first objective, ghost-point values are determined by applying a local coordinate-transform and a weighted least squares error method. These treatments suppress numerical instabilities which are especially serious in the case of high ratio of material properties. To achieve the second objective, a geometry of an interface is approximated using an unstructured surface mesh, which does not require analytic information about the geometry. The geometrical information of the interface such as position, slope, and curvature is numerically calculated using the unstructured surface mesh.

The accuracy and effectiveness of the present method are validated and demonstrated for wave propagation over or through several two-dimensional and three-dimensional obstacles. The test cases include an interface with high ratio of material properties, an interface with complex or non-smooth geometries in two- and three-dimensional space. Based on analytical solution and numerical solution on the finest computational grid, the convergence and order of accuracy of the present method is also checked.

The present method is extended to handle interfaces for acoustic waves and elastic waves as well. The extension of the present method is validated through the canonical test case of an interface between an elastic solid medium and a fluid medium. In order to demonstrate the capabilities of the present method for practical applications, flow-induced sound over a realistic automotive vehicle model (DrivAer) is simulated. An aerodynamic/acoustic splitting method is exploited in order to avoid the tremendous computational cost and contamination by numerical errors. Aerodynamic parts of the flow variables are computed by a large-eddy simulation, and acoustic parts are computed by linearized perturbed compressible equations.

매질의 물성이 불연속적으로 변하는 경계면에서 발생하는 파동방정식의 현상(동시적으로 일어나는 파동의 반사, 투과 및 굴절)을 해석하기 위한 가상경계기법이 개발되었다. 이 기법은 카티지안 정렬격자계를 그대로 사용하면서 형상 경계면이 파동에 가하는 영향을 모델링하는 기법이다. 본 수치해석 방법론의 개발 목적은 두 가지로 정리된다. 첫 번째로는 높은 물성 비율을 가지는 도메인 사이의 경계면과 파동의 상호작용을 다루는 것이고, 두 번째로는 경계면의 형상이 수학적으로 부드럽거나 부드럽지 않은 경우 등 다양하고 복잡한 형상의 경계면과 파동의 상호작용도 다루는 것이다. 현실에서 발생하는 음향 현상에서는 이러한 경우들이 자주 발생하기 때문에 실용적 관점에서 중요하다.

본 수치해석방법론에서는 경계면을 접하는 각 도메인에서의 솔루션을 경계면의 법선 방향으로 다른 도메인까지 부드럽게 확장하되 경계면의 효과를 반영하는 솔루션을 계산하고 이것을 경계면에 접하는 고스트 격자점에 부여한다. 경계면 양면에 위치한 고스트 격자점으로는 단일층의 격자점을 사용하였고 이 고스트 격자점의 값들로 경계면이 각 도메인의 파동에 가하는 영향을 구현할 수 있다. 경계면 양쪽의 고스트 격자점을 통해 입사되는 파동이 경계면과 만나면서 발생하는 파동의 투과 및 반사를 정확히 모델링할 수 있다.

첫 번째 목적인 높은 물성비를 다루기 위해서 고스트 격자점에 부여되는 값을 계산하는 과정에서 지역적 좌표변환과 가중 최소자승법을 사용하였다. 그 과정에서 선형방정식의 조건수를 낮추어 수치적 불안정성을 완화하였다. 이를 통해 높은 물성비를 가지는 경계면의 경우도 처리할 수 있게 되었다.

두 번째 목적인 복잡한 경계면 처리를 달성하기 위해서 경계면의 형상을 비정렬 삼각 표면격자로 표현하되 광선투사 방법을 사용하여 형상정보를 얻었다. 따라서 경계면 형상을 해석적인 수식으로 표현하지 않고 범용적인 표면격자를 사용하고 수치적인 방식으로 경계면의 형상 정보를 계산하였다. 단일층의 격자점을 고스트 격자점으로 사용하여 경계면의 영향을 흩뿌리지 않고 경계면을 날카롭게 표현하였다. 이로 인하여 경계면의 형상이 복잡하거나 부드럽지 않은 경우 및 3차원의 형상에 대해서도 경계면과 파동의 상호작용을 모사할 수 있게 되었다.

위의 방법대로 경계면 효과를 수치적으로 계산하고 반영할 수 있도록 수식을 유도하고 솔버로 구현하였다. 제안한 수치해석기법의 정확성 및 유용성을 검증 및 평가하기 위해 다양한 조건에 대해서 수치해석실험을 진행하였다. 수행한 수치해석실험은 2차원, 3차원의 경우를 포함하였고 경계면의 물성비가 높은 경우, 경계면의 형상이 복잡하거나 뾰족한 부분이 있어 부드럽지 않은 경우, 자동차의 사이드 미러와 같은 실제 산업적으로 활용되는 형상에 대해서도 실험을 수행하였다. 그리고 해석적 해나 조밀한 격자에서 수행한 수치적 솔루션과 비교하여 제안한 기법의 수렴성과 정밀도를 검증하였다. 특히 3차원의 투과 및 반사 경계 문제에 대해서는 검증을 위한 해석적 해가 없었기 때문에 구체의 경계면과 평면파의 상호작용에 관한 해석적 해를 직접 유도하여 검증에 사용하였다.

또한 본 방법을 확장하여 탄성고체의 파동방정식에도 적용하여 본 방법이 음향파동에만 국한되는 것이 아니라 음향/탄성 파동방벙식에 대해서도 적용 가능함을 보였다. 유체와 고체의 경계면에서 발생하는 파동현상에 대해 적용하였고 해석적 해와 비교하여 검증하였다. 그리고 본 방법이 유동소음이 발생하는 실제 산업적 사례에도 적용될 수 있음을 보이기 위해 주행 중 자동차에서 발생하는 풍절음 해석을 진행하였다. 실제적인 자동차의 형상과 공기의 경계면을 본 방법을 사용해서 처리하였고 풍절음 해석은 유동/소음 분리 해석 방법을 사용하였다. 유동 부분은 비압축성 큰에디모사를 사용해서 해석하였고 소음 부분은 선형 압축성 섭동 방정식을 사용해서 해석하였다. 이를 통해 본 방법의 유용성 및 활용성을 보였다.