Solving PDE-constrained Control Problems with Neural Networks

Abstract

본 박사학위 논문은 인공신경망을 사용하여 편미분방정식 제약 조건의 최적화 문제를 해결하는 것에 관한 것이다. 복잡한 물리 시스템의 모델링 및 제어는 학문 분야뿐 만아니라 실제 환경에서 맞닥뜨리는 중요한 문제이다. 이러한 문제는 종종 편미분방정식 제약 조건의 최적 제어 문제로 기술된다. 본 논문에서는 편미분방정식 제약 조건의 최적 제어 문제를 해결하는 데 일반적으로 적용할 수 있는 인공신경망 기반의 방법론을 제안한다. 먼저 신경망 모델의 높은 표현력을 활용하여 편미분방정식의 해 연산자를 근사화하는 인공신경망 모델을 학습한다. 여기서 도입된 정규화 손실 함수는 최적 제어 해를 정확하게 찾는데 중요한 역할을 한다. 이러한 과정은 크게 두 단계, 편미분방정식 제약 조건에 대한 해 연산자 학습 단계(1단계)와 최적 제어 탐색 단계(2단계)로 나눠진다. 해 연산자의 근사 모델이 1단계에서 성공적으로 학습이 되면, 2단계에서는 복잡한 계산을 통하지 않고 최적 제어를 찾을 수 있다. 이러한 점에서 우리의 방법론은 계산적 효율성을 핵심적인 특징으로 가진다. 또한 본 방법론은 데이터가 주어진 경우와 그렇지 않은 경우 모두에 적용될 수 있다는 점에서 적용의 유연성을 가진다. 이러한 특징들은 푸아송 방정식에서 버거스 방정식에 이르기까지 다양한 편미분방정식 제약 조건, 다양한 제어 변수, 다양한 최적화 목적 함수 등을 통해 검증될 수 있으며, 이를 통해 해당 방법론의 범용성을 확인할 수 있다.

This thesis is about solving PDE-constrained optimization problems using neural networks. Modeling and control of complex physical systems are essential tasks in many scientific disciplines and real-world problems. Such problems are often described by optimal control problems with PDE-constraints. We propose a neural network-based framework that is generally applicable to solving PDE-constrained optimal control problems. Network models are trained along with a special regularizer to approximate PDE solution operators, by leveraging their high representation power. The introduced regularizer enables successful computation of optimal control solutions. The procedure is divided into two phases: solution operator learning for PDE constraints (Phase 1) and searching for optimal control (Phase 2). Our framework is computationally efficient in that once the surrogate model is trained in Phase 1, the optimal control can be inferred in Phase 2 without intensive computations. Moreover, our framework can be applied to both data-driven and data-free cases. We demonstrate the successful application of our method to various optimal control problems for different control variables with diverse PDE constraints from the Poisson equation to Burgers' equation.