정의 집합을 이용한 무게 2 또는 3인 이진 선형 부호의 구성

Abstract

정의 집합(defining set)을 이용하여 무게의 갯수가 적은 선형 부호를 만드는 연구는 Calderbank와 Kantor 이후 활발히 연구되는 부호이론의 중요한 주제이다. 본 논문에서는 일반적으로 알려진 정의 집합을 이용하여 선형 부호를 만드는 방법의 수정된 형태의 버전을 제안한다. 그 후, 정의 집합으로 만들어지는 선형 부호와 그 부분 부호의 차원을 계산할 수 있게 해주는 정의 집합에 대한 조건을 제시할 예정이다. 다음으로, 차원이 $1$보다 큰 선형 부호, $2m$개의 변수를 가지는 bent 함수, 또, Vail'ev 부호가 제시했던 조건을 만족한다는 것을 보인 후, 그들을 정의 집합으로 가지는 선형 부호와 그 부호들 중 무게의 갯수가 적은 부분 부호의 무게 분포을 계산 할 것이다. 또, 우리가 제시한 방법의 곱 버전을 적용하여, 그 중 일부는 최적화 부호가 되는, 둘 혹은 셋의 무게를 가지는 무한 족을 몇몇 얻을 예정이다. 우리의 결과로 나온 무게가 둘인 선형 부호 중 일부는 strongly 정규 그래프에, 무게가 셋인 부호 중 일부는 partial geometric 차집합에, 또 특정 조건을 만족하는 부호는 최소부호가 됨을 보일 수 있다. 본 논문에서 얻은 선형 부호에 대한 무게 분포표 역시 함께 수록할 예정이다.

In this dissertation, we propose a construction method of linear codes from defining sets. We first impose a condition on defining sets which enables us to compute the dimensions of linear codes and their subcodes obtained from defining sets satisfying the condition. We next show that linear codes of dimension bigger than one, the support of bent functions of 2m (m > 1) variables and Vasil'ev codes satisfy the condition, and determine the weight distributions of linear codes and their subcodes obtained from those defining sets. By applying product version of our construction, we obtain a number of infinite families of two- or three-weight linear codes some of which are optimal in the sense that they meet some bound. Our results may contribute to the construction of strongly regular graphs from two-weight linear codes, partial geometric difference sets from three-weight linear codes and minimal codes from suitable linear codes. We also present tables of weight distributions of linear codes obtained from our construction.