사영공간 부분다양체 여집합의 Dwork 코호몰로지와 강체 코호몰로지의 비교에 대하여

Abstract

강체 코호몰로지 이론은 표수 $p$인 유한체상의 유한형 스킴에 정의된 $p$진 코호몰로진 이론이다. 다른 한편으로, 표수 $p$인 유한체상에 주어진 사영다양체 $X\subseteq\mathbb{P}^n$에 대해, Dwork 쌍대연쇄복합체를 정의할 수 있다. 본 논문에서는 $X$에 정의된 Dwork 쌍대연쇄복합체로부터 $\mathbb{P}^n\setminus X$의 강체 코호몰로지를 계산해 주는 특정한 사영다발에 정의된 Monsky-Washnitzer 쌍대연쇄복합체로의 구체적인 공사슬변환을 구성할 것이다. 또한 이렇게 구성된 공사슬변환이 $\mathbb{P}^n\setminus X$의 강체 코호몰로지를 $X$의 Dwork 코호몰로지의 직합인자로 규정하며, 각각의 코호몰로지에 정의된 Frobenius 연산자 그리고 Dwork 연산자 모두와 호환됨을 증명할 것이다.

For homogeneous polynomials $G_1,\cdots,G_k$ over a finite field of characteristic $p$, their Dwork complex is defined by Adolphson and Sperber, based on the theory of Dwork. In this paper, we will construct an explicit cochain map from the Dwork complex of $G_1,\cdots,G_k$ to the complex of Monsky and Washnitzer of some affine bundle over the complement $\mathbb{P}^n\setminus X_G$ of the common zero $X_G$ of $G_1,\cdots,G_k$, which computes the rigid cohomology of $\mathbb{P}^n\setminus X_G$. We verify that this cochain map realizes the rigid cohomology of $\mathbb{P}^n\setminus X_G$ as a direct summand of the Dwork cohomology of $G_1,\cdots,G_k$. We also verify that the comparison map is compatible with the Frobenius and the Dwork operator defined on both complexes respectively.