Vianna’s tori $T_{a,b,c}$ in $CP^2$ and wall-crossing formula

Abstract

본 논문에서는 비아나의 원환면(Vianna's torus)과 란다우-긴즈버그 씨앗(Landau-Ginzburg seeds) 관하여 연구하였다.

이 논문의 주요결과로서, 모든 비아나의 원환면의 상대적인 그로모프 용량의 하계와 란다우-긴즈버그 씨앗(Landau-Ginzburg seeds)의 형태를 구체적으로 구해냈다. 보다 자세하게 다음과 같은 여러가지 결과를 증명하였다: (1) 비아나의 원환면들의 상대적인 그로모프 용량들의 하한(infimum)을 구했고 $0$보다 큼을 보였다. (2) 개별 비아나의 원환면의 상대적인 그로모프 용량의 하계를 구하고 보다 큰 보편적인 하계(universal lower bound)를 얻었다. (3) 그리고 마르코프 삼중(Markov triple)의 두 변이(mutation)에 따라 달라지는, 이보다 더 큰 하계를 구했다. (4) 벽-통과 공식을 통해 작은 마르코프 삼중에 해당하는 란다우-긴즈버그 포텐셜을 구하여 임계점(critical point)의 존재성을 알아보았다. (5) 마지막으로 특별한 마르코프 삼중인 $(2,b,c)$와 $(a,1,c)$에 해당하는 란다우-긴즈버그 씨앗의 세 방향들(directions)과 변이 방향을 결정하였다.

In this thesis, we study an asymptotic behavior of Vianna’s tori $T_{a,b,c}$ in $\CP^2$ as $a + b + c \to \infty$ and its associated LG seeds. We first give an infimum of lower bound for the relative Gromov capacity of the torus$T_{a,b,c}$ over triples $(a, b, c)$. Then we find a lower bound for the relative Gromov capacity of individual torus and its improvements for any triple $(a, b, c)$. We illustrate the existence of critical points of LG potential Wa,b,c associated to $(a, b, c)$ and then give a description of directions of LG seeds in triples of the forms $(2, b, c)$ and $(a, 1, c)$.