Differential geometry of complex manifolds endowed with Bergman metric

Abstract

In this thesis, we study differential geometry of complex manifolds with positive-definite Bergman metric. The first main result of this thesis is a construction of a holomorphic affine connection on the holomorphic tangent bundle, of which the affine exponential map coincides with inverse of Bergman’s representative map. We also present a generalization of Lu Qi-Keng’s ball theorem, as an application. The second main result is a new method of obtaining a lower bound estimate for the curvatures of the Bergman metric without using the regularity of the kernel function on the boundary. As an application, we prove the existence of a uniform lower bound of the bisectional curvature of the Bergman metric of some bounded pseudoconvex domains including domains in Cn with boundary of constant Levi rank and domains in C2 with finite-type boundary.

본 논문에서는 Bergman 거리를 가지는 복소 다양체들의 미분기하학적인 성질에 관하여 연구하였다. 이 논문의 첫 번째 주요결과로서, 아핀 지수 함수가 Bergman의 대표 함수의 역 함수와 같은 복소 아핀 접속을 만들었다. 또한 그 응용으로서, Lu Qi-Keng 교수의 구에 관한 정리를 일반화하였다. 두 번째 주요 결과로서, Bergman 핵 함수의 유계영역 경계면에서의 정규성을 이 용하지 않고, Bergman 거리의 곡률의 하계를 추정하는 방법론을 제시하였다. 그 응용으로서, 유한접촉 경계조건을 가지는 복소 2차원 유사볼록 유계영역이나 상수 Levi 계수를 가지는 복소 일반차원의 유사볼록 유계영역의 Bergman 거리의 복소 해석 쌍단면곡률의 하한에 대한 고른 계측이 존재함을 증명하였다.