A Study On Stability Analysis For Fuzzy Systems Using Fuzzy Lyapunov Functions

Abstract

본 논문에서는 퍼지 Lyapunov 함수를 이용한 퍼지 시스템의 안정성 판별법을 제안하였다. 퍼지 시스템의 안정성의 수학적 증명은 Lyapunov Theorem을 사용하여 증명하였다.첫째, 퍼지 Lyapunov 함수를 이용한 연속-시간 Takagi-Sugeno (T-S) 퍼지 시스템의 안정성 판별법을 제안하였다. 제안된 퍼지 Lyapunov 함수는 상태 변수의 시간 미분을 고려하였으며, 멤버쉽 함수의 고차 시간 미분의 특성들을 이용하여 선형 행렬 부등식(Linear Matrix Inequality)에 자유 행렬들을 추가하였다. 또한, Finsler's Lemma를 이용하여 더 많은 자유 변수들을 안정성 판별 조건에 추가하여 더 완화된 안정성 판별 조건을 유도하였다. T-S 퍼지 시스템의 안정성 판별 조건을 선형 행렬 부등식의 형태로 도출하였는데, 안정화 조건을 선형 행렬 부등식으로 나타내면 여러 최적화 기법을 이용하여 쉽게 해를 얻을 수가 있다. 기존 퍼지 Lyapunov 함수를 이용한 방법들이 제안된 방법의 특수한 예임을 보였으며, 제안된 방법의 유용성을 예제들을 통하여 보였다.둘째, 다항 퍼지 Lyapunov 함수를 이용한 다항 이산-시간 퍼지 제어 시스템의 안정화 기법을 제안하였다. 제안된 다항 퍼지 Lyapunov 함수는 다항 Lyapunov 함수의 퍼지 조합으로 이루어져 있으며, 멤버쉽 함수와 관련있는 특성들을 이용하여 제곱합(Sum-Of-Squares) 기반 안정화 조건에 새로운 자유 다항 행렬을 포함시켰다. 이 다항 퍼지 Lyapunov 함수와 자유 다항 행렬들이 제곱합의 해를 구하는 최적화 기법이 보다 확대된 영역을 다룰 수 있도록 하여 보다 개선된 시스템 안정화 조건을 얻을 수 있도록 하며 다항 퍼지 제어기를 구현할 수 있게 한다. 이러한 개선된 안정화 방법을 사용하여 다항 이산-시간 퍼지 제어 시스템에 대한 안정화 조건을 제곱합 조건으로 도출하였으며, 도출된 제곱합 조건에 의해 다항 퍼지 제어기의 이득을 구하였다. 수치적 예를 통하여 제안된 기법이 기존의 방법에 비해서 개선되었음을 보였다.