Stability Analysis and Control of Systems with Time-varying Delays Based on New Lyapunov Functionals

Abstract

본 논문은 삼중 적분 성분 (triple integral terms)을 포함하는 Lyapunov 범함수를 사용하여 시변 지연을 포함하는 시스템의 안정성 분석과 제어를 위한 연구를 다루고 있다. 기존의 연구에서는 이중 적분 성분 (double integral terms)까지만을 사용하여 Lyapunov 범함수를 구성하였는데, 이를 통한 연구 결과들의 성능이 거의 한계에 도달하였기 때문에 어떻게 하면 좀 더 나은 성능을 가진 결과를 얻을 수 있을까가 연구의 동기였고, 그 시도가 삼중 적분 성분을 포함하는 Lyapunov 범함수를 구성하는 것이었다.시간 지연에 의존적인 안정성 분석 및 제어를 하기 위해서 많이 사용되는 정리가 integral inequality 정리, Jensen inequality 정리, 마지막으로 reciprocal-convexity lower bounds 정리들인데 새로운 Lyapunov 범함수에도 이를 적용하여 새로운 결과들을 구할 수 있었다. 먼저 2장에서는 구간 시변 지연을 가지는 시스템의 H_infinite 성능을 만족하면서 강인 안정성을 보장하는 조건에 대한 연구를 하였다. 이번 시스템에서 우리는 시변 지연의 한계값만 알고 미분 불가능하다고 가정하였는데, 그 이유는 이러한 가정이 좀 더 현실적이라고 생각되었기 때문이다. 안정성을 보장하는 조건을 구하기 위해서 우리는 삼중 적분 성분을 포함하는 새로운 Lyapunov 범함수를 구성하였고, 시간 지연에 의존적인 조건을 구하기 위해서 기존의 integral inequality 정리를 확장한 double-integral inequality 정리를 제안하였다. 이를 통해 얻어진 결과를 세개의 예제를 통해서 확인하였고, 기존의 연구들에 비해서 더 나은 성능을 보임을 알 수 있었다. 3장에서는 입력 지연을 가지는 플랜트와 제어기가 네트워크로 연결된 네트워크 제어 시스템의 안정석 분석 및 제어에 대한 연구를 하였다. 전체 시스템은 샘플링 및 홀드 동작 (sample and hold operation)으로 인해서 야기되는 네트워크 시간 지연과, 플랜트에 포함된 입력 지연으로 인해서 계단식 구조를 가지는 시변 지연 시스템으로 모델링 되었다. 이번 연구에서도 우리는 삼중 적분 성분을 포함하는 새로운 Lyapunov 범함수를 구성하였고, 시간 지연에 의존적인 조건을 구하기 위해서 Jensen inequality 정리와 reciprocal-convexity lower bounds 정리를 사용하였다. 특히 계단식 구조를 가지는 시간 지연으로 인해서 우리는 시간 지연의 구간을 4부분으로 나누었고, 효과적으로 이를 처리할 수 있었다. 위에서 구한 조건을 기반으로 시스템의 안정화를 위한 제어기를 설계하였는데 불행하게도 non-convex 형태로 표현되었고 sequential linear programming matrix method (SLPMM) 알고리즘을 사용하여 이를 해결하였다. 두개의 예제를 통해서 본 연구를 통한 결과가 기존의 결과들보다 더 나음을 확인할 수 있었다.