Interior jump and contact singularity for compressible flows with infow jump datum and numerical simulations

Abstract

압축성 유체에서 불연속 유입 조건은 연속 방정식의 특성 곡선에 따른 영역 내부의 점프 곡선을 생성하며 이에 따라 (운동량 방정식의) 압력 미분이 잘 정의 되지않는다. 특히, 유한 영역에서 점프 곡선은 영역 경계의 특정 지점과 만나게 되고 여기서 유체의 접촉 특이성이 발생한다. 이 논문은 사각형 영역에서 불연속 유입 조건을 지닌 압축성 유체를 다루며, 해의 불연속성 및 접촉점에서 발생하는 해의 접촉 특이성에 관해 분석한다. 속도 벡터 및 밀도 함수를 불연속 부분 및 접촉 특이성 부분 그리고 매끄러운 부분으로 나눔으로써, 해의 존재성과 유일성 그리고 구분적 미분가능성을 보이며 랭킨-위고니오 방정식을 이끌어 낸다. 또한, 해석적 이론을 바탕으로 해의 각 부분을 근사하는 수치적 알고리즘을 개발하여 수치적 해의 안정성 및 오차 추정을 하였으며, 수렴속도를 검증하기 위한 수치적 실험을 수행한다.

Discontinuous inflow datum for compressible flows must generate a jump curve directing into the region by the hyperbolic character of the continuity equation and the pressure gradient (in the momentum equation) is not well-defined. Specially, in bounded domains, the jump curve must meet some points of the boundary and brings us contact singularities. In this paper we consider a compressible viscous flow with inflow discontinuous datum on a rectangle domain to analyze the jump of the solution with the singular behavior at the contact points. We split the velocity vector field into a non-smooth part plus a contact singular one plus a smoother one and similar for the density function. With these we show unique existence and piecewise regularity of the solutions and derive the Rankine-Hugoniot conditions. Based on the above results, we develop a numerical scheme for approximating the solution, and show the stability and error estimates for the numerical solution Finally, we perform numerical simulations to confirm the convergence rates for the numerical approximations.